Dintr-o urna care contine 40 de bile, numerotate de la 1 la 49, toate identice ca forma, dimensiune si greutate, se extrag pe rând, fara repunere, un numar de 6 bile, formând asa numita tragere Loto «5 din 40». Notând simbolic aceste sase numere cu N₁, N₂, N₃, N₄, N₅, N₆ o tragere completa arata astfel:

O varianta de joc se considera a fi orice set de 5 numere distincte de la 1 la 49, înscris astfel pe un buletin oficial de joc si achitat integral înaintea tragerii.
O varianta de joc se numeste câstigatoare daca cel putin patru numere pe care le contine au aparut printre cele 6 care formeaza tragerea.
Orice varianta câstigatoare primeste drept recompensa o anumita suma de bani, suma a carei marime este dependenta de elemente precum:

• categoria de câstig realizata
• fondul de câstiguri (F) si procentul de repartizare a acestuia la categoria la care s-a realizat câstigul
• numarul de variante câstigatoare la aceeasi categorie.

În cazul jocului LOTO «5 din 40» premiile sunt atribuite pe 3 categorii distincte, explicate mai jos - în scopul întelegerii complete a sistemului - dupa cum urmeaza:

Categoria I: "5 din primele 5", adica toate cele 5 numere ale unei variante de joc sunt câstigatoare, deci se afla printre cele 6 ale tragerii.
Categoria a II-a: "5 din cele 6 extrase", adica toate cele 5 numere jucate într-o varianta de joc sunt câstigatoare, deci se afla printre cele 6 ale tragerii.
Categoria a III-a: "4 din cele 6 extrase", adica 4 din cele 5 numere jucate într-o varianta de joc sunt câstigatoare, deci se afla printre cele 6 ale tragerii.

O prima întrebare justificata în legatura cu acest sistem de joc se refera la probabilitatile ca o varianta de joc oarecare sa obtina un câstig la una din cele trei categorii. De la bun început facem observatia foarte utila ca nu toate cele trei evenimente care definesc categoriile de câstiguri, sunt independente. Mai precis, realizarea celui de-al doilea eveniment poate îngloba si conditiile de câstig ale categoriei I, deoarece, daca apar 5 numere câstigatoare printre cele sase extrase, atunci acestea pot exista chiar printre primele 5 din cele ale tragerii numerelor câstigatoare.

Precizam ca probabilitatile cu care vom opera de aici înainte pentru acest joc, vor fi calculate, în marea lor majoritate, cu 8 zecimale exacte. Aceasta alegere este facuta doar în scopul atingerii cifrele semnificative ale celor mai mici numere zecimale rezultate din calculul probabilitatilor si pentru o precizie adecvata a calculelor.
Cu ajutorul schemei bilei neîntoarse, un câstig de categoria întâi se poate obtine cu probabilitatea:

sau

Un câstig de categoria a doua se poate obtine cu probabilitatea:

p2 = C(5,5).C(35,1)/C(40,6) – p1 = 5/658008 = 1/131602

sau

 

p2 = 0,00000760

Un câstig de categoria a treia se poate obtine cu probabilitatea:

sau

1) Probabilitatea de a obtine cel putin un câstig la Loto «5 din 40» este suma celor trei probabilitati, adica:
p = p1+p2+p3 = 516/658008 = 1/1275 = 0.00078419. Asadar, daca s-ar juca toate cele C(40,5)=658008 variante distincte posibile la Loto «5 din 40», numai 516 din ele ar realiza câstiguri (circa 0.08 % dintre acestea).

2) Probabilitatea de a nu obtine nici un câstig la Loto «5 din 40» este:
q = 1 - p = 657492/658008 = 1/1,001 = 0.99921581.

3) Un câstig de categoria I la loto «5 din 40» se poate obtine cu probabilitatea de 1 / 658008.

4) Un câstig la categoria a II-a poate fi obtinut cu probabilitatea de 5 / 658008.

5) Un câstig la categoria a III-a se poate obtine cu probabilitatea de 510 / 658008.

6) Practic, daca s-ar juca toate cele C(40,5)=658008 de variante distincte si posibile:

- numai una singura ar realiza un câstig la categoria I,
- doar 5 dintre acestea ar obtine câstiguri de categoria a II-a,
- numai 510 variante ar obtine câstiguri de categoria a III-a.

7) Altfel spus, dintre toate variantele distincte care pot fi jucate:

- numai una din 658008 poate obtine un câstig de categoria I,
- numai 5 variante din 658008 pot obtine un câstig de categoria a II-a, sau numai 1 din 131602.
- numai 510 variante din 658008 pot obtine câstiguri de categoria a III-a, sau numai 1 din 1290.