Jocul Joker este un joc nou de tip Loto, deci un joc bazat pe numere si pe extrageri aleatoare din urna. Participarea la acest joc se face pe baza întregistrarii unor variante de câte 6 numere dar din doua seturi distincte de numere: primele 5 numere cuprinse între 1 si 45, si un singur numar, al 6-lea, cuprins între 1 si 20.

Tragerea consta din extragerea din urna a unui set de 5+1 numere, extrase din aceleasi doua domenii (1-45, respectiv 1-20); mai précis, avem de-a face cu doua seturi care, numai împreuna pot forma varianta câstigatoare: unul de 5 numere si unul de un singur numar. Cel de-al saselea numar este numit, în mod frecvent, joker.
Categoriile de câstiguri acordate la jocul Joker sunt urmatoarele:

Categoria 1 - toate cele 5 numere din primul set si joker-ul
Categoria 2 - toate cele 5 numere din cele 5 ale primului set
Categoria 3 - oricare 4 numere din cele 5 ale primului set si joker-ul
Categoria 4 - oricare 4 numere din cele 5 ale primului set
Categoria 5 - oricare 3 numere din cele 5 ale primului set si joker-ul
Categoria 6 - oricare 3 numere din cele 5 ale primului set
Categoria 7 - oricare 2 numere din cele 5 ale primului set si joker-ul
Categoria 8 - oricare numar din cele 5 ale primului set si joker-ul.

Dintr-o urna care contine 45 de bile, numerotate de la 1 la 45, toate identice ca forma, dimensiune si greutate, se extrag pe rând, fara repunere, un numar de 5 bile, alcatuind astfel primul set al tragerii. În continuare, dintr-o alta urna care contine 20 de bile, numerotate de la 1 la 20, toate identice ca forma, dimensiune si greutate, se extrage o singura bila, al carei numar numit joker se alatura primul set de 5 numere.

Notând simbolic aceste numere cu N₁, N₂, N₃, N₄, N₅, iar jokerul cu M₁, o tragere completa va arata astfel:

Extragere Joker: N₁, N₂, N₃, N₄, N₅- M₁

O varianta de joc se considera a fi orice set de 6 numere, alese de asemenea din cele doua intervale posibile: primele 5 sunt numere distincte de la 1 la 45, iar cel de-al saselea este un numar ales din intervalul 1÷20. Variantele jucate sunt înregistrate în buletinele de joc iar valoarea lor achitata înaintea efectuarii tragerii numerelor câstigatoare.

O varianta de joc se numeste câstigatoare daca realizeaza cel putin una din conditiile prevazute la categoriile de câstig prezentate mai sus. Orice varianta câstigatoare primeste drept recompensa o anumita suma de bani, suma a carei marime este dependenta de elemente precum:

• categoria de câstig realizata
• fondul de câstiguri (F) si procentul de repartizare a acestuia la categoria la care s-a realizat câstigul
• numarul de variante câstigatoare la aceeasi categorie.

Numarul cazurilor egal posibile în care pot aparea cele 5 + 1 numere extrase este dat de formula:

C(45,5) • C(20,1) = 24435180.

Pentru simplificarea rationamentului si usurarea calculelor pentru probabilitatile de câstig, vom “împarti” experimentul nostru în urmatoarele 12 evenimente:

E1 - "5 din primele 5 + joker-ul",
E2 - "5 din primele 5 - fara joker",
E3 - "4 din primele 5 + joker-ul",
E4 - "4 din primele 5 – fara joker",
E5 - "3 din primele 5 + joker-ul",
E6 - "3 din primele 5 – fara joker",
E7 - "2 din primele 5 + joker-ul",
E8 - "2 din primele 5 – fara joker",
E9 - "1 din primele 5 + joker-ul",
E10 - "1 din primele 5 – fara joker",
E11 - "0 din primele 5 + joker-ul",
E12 - "0 din primele 5 – fara joker".

O prima observatie pe care o putem face este aceea ca aceste evenimentele definite mai sus sunt independente si descriu complet (acopera toate cazurile posibile) experimentul nostru. Asta înseamna ca cele 12 evenimente formeaza un sistem complet de evenimente.

O a doua observatie pe care o facem este la fel de importanta ca si prima. Nu toate evenimentele definite descriu realizarea câstigurilor la cele 8 categorii de câstiguri posibile. Astfel, facând o corespondenta clara între aceste evenimente si categoriile de câstiguri pe care le asigura, avem:

E1 = categoria 1.
E2 = categoria a 2-a.
E3 = categoria a 3-a.
E4 = categoria a 4-a.
E5 = categoria a 5-a.
E6 = categoria a 6-a.
E7 = categoria a 7-a.
E8 = nici o categorie de câstig.
E9 = categoria a 8-a.
E10 = nici o categorie de câstig.
E11 = nici o categorie de câstig.
E12 = nici o categorie de câstig.

Asadar, numai evenimentele E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7 si E9 asigura câstigurile conditionate de cele opt categorii, în timp ce evenimentele E8, E10, E11 si E12 nu asigura nici unul din câstigurile oficiale.

Vom trece acum la calcularea probabilitatilor de realizare a acestor evenimente.

Asa cum am procedat si în paragrafele anterioare, vom calcula aceste probabilitati cu 8 zecimale exacte, pentru a atinge cifrele semnificative ale celor mai mici numere zecimale rezultate din calcul si pentru o precizie adecvata a acestor calcule.

p(E1) = 1•C(5,5)•C(40,0)/[C(45,5)•C(20,1)] = 1/24435180 = 0,00000004
p(E2) = 19•C(5,5)•C(40,0)/[C(45,5)•C(20,1)] = 19/24435180 = 1/1282904 = 0,00000078
p(E3) = 1•C(5,4)•C(40,1)/[C(45,5)•C(20,1)] = 200/24435180 = 1/122176 = 0,00000818
p(E4) = 19•C(5,4)•C(40,1)/[C(45,5)•C(20,1)] = 3800/24435180 = 1/6430 = 0,00015551
p(E5) = 1•C(5,3)•C(40,2)/[C(45,5)•C(20,1)] = 7800/24435180 = 1/3133 = 0,00031921
p(E6) = 19•C(5,3)•C(40,2)/[C(45,5)•C(20,1)] = 148200/24435180 = 1/165 = 0,00606503
p(E7) = 1•C(5,2)•C(40,3)/[C(45,5)•C(20,1)] = 98800/24435180 = 1/247 = 0,00404335
p(E8) = 19•C(5,2)•C(40,3)/[C(45,5)•C(20,1)] = 1877200/24435180 = 1/13 = 0,07682366
p(E9) = 1•C(5,1)•C(40,4)/[C(45,5)•C(20,1)] = 456950/24435180 = 1/53 = 0,01870050
p(E10) = 19•C(5,1)•C(40,4)/[C(45,5)•C(20,1)] = 8682050/24435180 = 1/3 = 0,35530944
p(E11) = 1•C(5,0)•C(40,5)/[C(45,5)•C(20,1)] = 658008/24435180 = 1/37 = 0,02692872
p(E12) = 19•C(5,0)•C(40,5)/[C(45,5)•C(20,1)] = 12502152/24435180 = 1/2 = 0,51164558.

CONCLUZII

1) Probabilitatea de a obtine cel putin un câstig la jocul «Joker» este suma probabilitatilor evenimentelor care asigura categoriile de câstiguri, deci:

p = p(E1) + p(E2) + p(E3) + p(E4) + p(E5) + p(E6) + p(E7) + p(E9) = 715770/24435180 = 1/34 = 0.02929260.

Asadar, daca s-ar juca toate cele C(45,5)•C(20,1) = 24435180 variante distincte posibile la jocul «Joker», numai 715770 din ele ar realiza câstiguri (circa 2,9 % dintre acestea).

2) Probabilitatea de a nu obtine nici un câstig la jocul «Joker» este:

q = 1 - p = 23719410/24435180 = 1/1,03 = 0.97070740.

3) Un câstig de categoria I se poate obtine cu probabilitatea de 1/24435180.

4) Un câstig de categoria a II-a se poate obtine cu probabilitatea de 19 / 24435180.

5) Un câstig de categoria a III-a se poate obtine cu probabilitatea de 200 / 24435180.

6) Un câstig de categoria a IV-a se poate obtine cu probabilitatea de 3800 / 24435180.

7) Un câstig de categoria a V-a se poate obtine cu probabilitatea de 7800 / 24435180.

8) Un câstig de categoria a VI-a se poate obtine cu probabilitatea de 148200 / 24435180.

9) Un câstig de categoria a VII-a se poate obtine cu probabilitatea de 98800 / 24435180.

10) Un câstig de categoria a VIII-a se poate obtine cu probabilitatea de 456950 / 24435180.

11) Practic, daca s-ar juca toate cele 24435180 de variante distincte posibile:

- numai una singura ar realiza un câstig la categoria I,
- 19 dintre acestea ar obtine câstiguri de categoria a II-a,
- 200 dintre acestea ar obtine câstiguri de categoria a III-a,
- 3800 dintre acestea ar obtine câstiguri de categoria a IV-a,
- 7800 dintre acestea ar obtine câstiguri de categoria a V-a,
- 148200 dintre acestea ar obtine câstiguri de categoria a VI-a,
- 98800 dintre acestea ar obtine câstiguri de categoria a VII-a, si
- 456950 dintre acestea ar obtine câstiguri la ultima caregorie, a VIII-a.

12) Altfel spus, dintre toate variantele distincte si posibile care pot fi jucate:

- numai una din 24435180 poate obtine un câstig de categoria I,
- numai 19 din 24435180 pot obtine un câstig de categoria a II-a, sau numai 1 din 1282904.
- numai 200 din 24435180 pot obtine câstiguri de categoria a III-a, sau numai 1 din 122176.
- numai 3800 din 24435180 pot obtine câstiguri de categoria a IV-a, sau numai 1 din 6430.
- numai 7800 din 24435180 pot obtine câstiguri de categoria a V-a, sau numai 1 din 3133.
- numai 148200 din 24435180 pot obtine câstiguri de categoria a VI-a, sau numai 1 din 165.
- numai 98800 din 24435180 pot obtine câstiguri de categoria a VII-a, sau numai 1 din 247.
- numai 456950 din 24435180 pot obtine câstiguri de categoria a VIII-a, sau numai 1 din 53.